Den piezoelektriske effekten - grunnligninger

I materialer der den piezoelektriske effekten opptrer, oppstår det mekaniske spenninger og tøyninger når et elektrisk felt blir påtrykt, og omvendt. Effekten er reversibel, og lineær til første orden. Den piezoelektriske effekten ble først oppdaget i kvarts av brødrene Pierre og Jaques Curie i 1880 [54].

Den piezoelektriske effekten i et piezoelektrisk medium (figur ) kan beskrives ved hjelp av et sett med grunnligninger. På komponentform for et kartesisk koordinatsystem kan disse uttrykkes på følgende måte, der summasjonskonvensjonen er benyttet ([40], [4]):

• De konstitutive relasjonene for piezoelektriske media gir koblingen mellom de mekaniske og elektriske størrelsene i systemet:

    

  der

  Disse konstitutive relasjonene kan også settes opp på andre former [40]. For det tapsfrie tilfellet er disse konstant-tensorene reelle. Komplekse konstant-tensorer kan innføres for å representere elastiske, piezoelektriske og dielektriske tap [35].

• Komponentene til tøyningstensoren finner man ut fra komponentene til forskyvningsvektoren som:

   

  der

• Den elektriske oppførselen til det piezoelektriske materialet er beskrevet av Maxwell's ligninger i tillegg til de konstitutive relasjonene for et piezoelektrisk medium gitt i ligning 1.1- 1.2. Den kvasielektrostatiske approksimasjonen kan innføres [4], slik at det elektriske feltet er relatert til det elektriske potensialet ved:

   

  der

  Videre har vi at:

   

  der

  og det er antatt at det eksisterer frie elektriske ladninger i materialet, noe som ikke er gjort i [40]. Dette er allikevel gjort her fordi frie elektriske ladninger blir introdusert når endelig element metoden for et piezoelektrisk medium formuleres i [1], og [1] representerer den første formuleringen av metoden for et slikt medium, og derfor har vært viktig i arbeidet med denne oppgaven. blir senere satt til null i det piezoelektriske materialet.

• Bevegelsesligningen (Newton's 2. lov) for et piezoelektrisk medium der det virker volumkrefter kan uttrykkes som:

   

  der

  og og t er tiden.

  I [40] er volumkraften satt til null, men fordi dette ikke er gjort i [1], er det her valgt å ta med virkningen av volumkraften i beskrivelsen.

Disse grunnligningene kan benyttes i analysen av piezoelektriske transdusere. I seksjon 2.1 blir disse ligningene funnet ut fra en variasjonsformulering.