Endelig element metoden (beskrevet i f.eks. [5], [42], [37]) (figur 1.1) ble først benyttet i strukturell analyse rundt 1950, for å analysere vibrasjoner i elastiske strukturer. Metoden bygger på en variasjonsformulering og oppsplitting av strukturen som skal analyseres i diskret underområder, såkalte endelige elementer. Oppdelingen av strukturen i elementer er en approksimasjon der det blir antatt at vibrasjonene i strukturen kan beskrives av vibrasjonene i et endelig sett med punkter, nodene til de endelige elementene. Dersom man øker antallet elementer og noder, vil løsningen gå mot den virkelige løsningen på den teoretiske modellen, dersom man ser bort fra numeriske feil [37]. Endelig element metoden er i dag en svært populær metode for løsning differentialligninger innenfor en rekke forskjellige fagfelt.
Figure 1.1: Skjematisk representasjon av endelig element metoden for et
generelt problem.
Den generelle endelig element formuleringen for et piezoelektrisk materiale ble først gitt av Allik og Hughes [1] i 1970. Siden da har metoden vært mye benyttet innenfor vibrasjonsanalyse av piezoelektriske transdusere og transduserkonstruksjoner, både ved lave og høye frekvenser.
Aksesymmetriske piezoelektriske strukturer er studert av en rekke forfattere ved hjelp av tre-dimensjonale aksesymmetriske modeller, slik at strukturen kan modelleres i to dimensjoner. For eksempel studerer Kagawa et. al. lavfrekvente Langevin-type transdusere ved hjelp av en aksesymmetrisk endelig element modell i [14]. I [6] studerer Kunkel et. al. piezoelektriske skiver med varierende forhold mellom diameter og tykkelse (D/T) av materialet PZT5H. I [10] studerer Guo piezoelektriske skiver av materialet PZT5A med D/T forhold mellom 0.1 og 20. Jensen studerer resonansfrekvenser og mode-former for piezoelektriske skiver av materialet PZT5H i [23].
Tre-dimensjonale piezoelektriske strukturer er analysert i f.eks. [12],[15] av Lerch, og i [43] av Challande. Piezoelektriske stenger med forskjellig forhold mellom bredde og tykkelse (W/T) blir studert ved hjelp av en to dimensjonale simuleringer i f.eks. [25] (Naillon et. al.). I tillegg er endelig element metoden benyttet til å studere en rekke andre piezoelektriske transduserkonstruksjoner.
Endelig element metoden for piezoelektriske transduserkonstruksjoner kan håndtere komplekse geometrier og strukturer med elastiske påbygninger ([14], [12]). I tillegg er det mulig å bygge på med en endelig element modell for utstråling til et gass- eller væskemedium ([21], [13]). Både harmonisk analyse, egenverdianalyse og transientanalyse ([10]) kan utføres ved hjelp av endelig element modellen. Dette gjør endelig element metoden til en kraftig og generell metode for analyse av piezoelektriske transduserkonstruksjoner [10].
Det finnes i dag en rekke kommersielle programmer for analyse av piezoelektriske strukturer ved hjelp av endelig element metoden. De kommersielle programmene ABAQUS [30], ANSYS [13] og MODULEF [68] er generelle endelig element programmer som kan utføre piezoelektrisk analyse i tillegg til en rekke andre analyseområder. PZFlex [69] og ATILA [70] er endelig element programmer utelukkende for piezoelektrisk analyse, som kan håndtere flere problemer enn de generelle endelig element programmene. Det kan i mange tilfeller være hensiktsmessig å benytte disse programmene til analyse av piezoelektriske transduserkonstruksjoner, men dersom man er interessert i å studere spesielle problemer og å se på hvilken effekt variasjoner av ulike inngangsparametre har på responsen til transduserkonstruksjonen, har man større frihet dersom man implementerer teorien selv. I tillegg har man større kontroll over metoden, man får økt forståelse av den grunnleggende teorien, og man kan vurdere resultatene som metoden gir på en langt bedre måte. Videre er de kommersielle endelig element programmene på markedet svært kostbare. Ulempen med å implementere teorien selv, er at det kan være vanskelig å implementere teorien på en feilfri måte, og at det derfor stilles høye krav til testing av programmet. Dette viste f.eks. et NTNF-finansiert arbeid for modellering av piezoelektriske svingere ved ELAB-RUNIT (avsluttet 1989) [19], der hele programmet ikke var operativt ved prosjektets slutt [19].
I denne oppgaven er det valgt å implementere teorien selv. Hovedmotivasjonen for å foreta implementeringen selv, og ikke å bruke kommersielle programmer, er at arbeidet med implementeringen gir en økt forståelse av teorien, metodens begrensninger, og hvilke fallgruber det finnes i forbindelse med bruk av endelig element metoden til å modellere piezoelektriske transdusere.