Konklusjoner

Problemstillingene som det blir sett på her er i stor grad de samme som studert i en doktoravhandling av N. Guo fra 1989, der vibrasjonsmønsteret i piezokeramiske skiver blir studert ved hjelp av endelig element metoden. Et av hovedpunktene ved arbeidet med hovedfagsoppgaven har vært å reprodusere deler av resultatene fra denne avhandlingen og artikler av Guo og Cawley [49][50] [51]

I denne oppgaven er det valgt å implementere teorien selv. Hovedmotivasjonen for å foreta implementeringen selv, og ikke å bruke kommersielle programmer, er at arbeidet med implementeringen gir en økt forståelse av teorien, metodens begrensninger, og hvilke fallgruber det finnes i forbindelse med bruk av endelig element metoden til å modellere piezoelektriske transdusere.

Med bakgrunn i avhandlingen til Guo [10] og annen litteratur om endelig element metoden, er endelig element teori for piezoelektriske strukturer gjennomgått på en generell måte i kapittel 2 og , for å gi en beskrivelse av hvordan dette kan implementeres i et dataprogram. I oppgaven er det hovedsakelig sett på piezokeramiske skiver. Teorien for piezokeramiske skiver er implementert i programmet FEMP ("Finite Element Modellering av Piezoelektriske strukturer"), i både MATLAB og Fortran 90 (F90). Bare den mest grunnleggende teorien er implementert i Fortran 90-versjonen av FEMP. Det innebærer at F90-versjonen av FEMP kun kan simulere egenverdier (resonansfrekvenser og antiresonansfrekvenser) og egenvektorer (utsvinget for svingemodene) for en eller flere piezokeramiske skiver, samt regne ut den modale konstanten [10], et mål for hvor sterkt de ulike modene kan eksiteres. Denne delen av implementeringen er grundig beskrevet i vedlegg . MATLAB-versjonen av FEMP kan simulere langt mer kompliserte funksjoner, blant annet den mekaniske spenningsfordelingen i strukturen, harmoniske responsfunksjoner (utsving og impedans/admittans) og transiente responsfunksjoner (utsvinget for en del enkle inngangssignaler som f.eks. Diracs deltafunksjon). I tillegg er det innebygget muligheter for å analysere strukturer som består av flere materialer, og forskjellige tapsmodeller. Fordelen med F90-versjonen er at den kan løse langt større problemer enn MATLAB-versjonen. I tillegg kan de to versjonene "kommunisere" ved hjelp av filer. Implementeringen av MATLAB-versjonen av FEMP er beskrevet noe mindre grundig enn hva tilfellet er for F90-versjonen i, vedlegg .

Tidlig i arbeidet med testingen av programmet ble det støtt på problemer med å få overensstemmelse med resultater fra doktoravhandlingen til Guo ved hjelp av FEMP. Dette førte til at den grundige testingen av FEMP ble begrenset til de grunnleggende delene av programmet, det vil si utregning av resonans- og antiresonansfrekvenser for piezoelektriske strukturer, og da i hovedsak piezokeramiske skiver. De øvrige delene av programmet er foreløpig ikke testet på en grundig nok måte. Testingen som er utført er beskrevet utførlig i kapittel , og kan oppsummeres på følgende måte:

• Avvik mellom simulerte resonansfrekvenser med F90-versjonen og MATLAB-versjonen av FEMP er funnet til å være under 1ppm for en del testproblemer. Sammenligning med NAFEM-standarden, som er en standard for rent elastiske elementer, gir avvik på under 80ppm.
• Det er utført en hel rekke simuleringer(mer enn 50) med det kommersielle endelig element programmet ABAQUS der det er funnet maksimale avvik i forhold til resultater fra FEMP på under 5ppm for resonansfrekvenser for piezokeramiske skiver.
• Sammenligning med utregnete resonansfrekvenser i en doktoravhandling av Guo gir avvik på opp til 10% for enkelte resonansfrekvenser, uten at det er funnet noen spesifikk årsak til avvikene, selv etter korrespondanse med Guo. Sammenligninger med ABAQUS for de fleste av simuleringene fra Guo gir avvik mellom FEMP og ABAQUS på under 5ppm til tross for de store avvikene mellom Guo og FEMP.
• Sammenligninger med utregnete resonans- og antiresonansfrekvenser fra en rekke artikler viser kvalitativt god overensstemmelse mellom resultatene fra FEMP og de publiserte resultatene for en rekke forskjellige problemer, men forskjellige simuleringsparametre har i mange tilfeller vanskeliggjort kvantitative sammenligninger.
• Det er foretatt noen tester for utregning av resonansfrekvenser for strukturer som består av flere materialer og utregning av elektriske responsfunksjoner som indikerer at FEMP regner riktig på dette området, uten at testingen er omfattende nok til at det kan trekkes noen klare konklusjoner.
• De mekaniske og elektriske grensebetingelsene for egenmodene (egenvektorene) ser ut til å være oppfylt.

Bruk av en rekke forskjellige element-typer og element-oppdelinger i publiserte resultater ved bruk av endelig element analysen har altså vanskeliggjort kvantitative sammenligninger mellom FEMP og publiserte resultater. Det er kun i doktoravhandlingen til Guo [10] at det er funnet resultater som det er mulig å gjøre gode kvantitative sammenligninger, slik at det er oppgitt nøyaktig problemdefinisjon, og det er benyttet en element-type som er implementert i FEMP. Sammenligning med resultater fra [10] gir relativt store, uforklarelige avvik, samtidig som det er nærmest perfekt overensstemmelse med ABAQUS (som representerer en uavhengig implementering), og det er kvalitativt bra overensstemmelse med en rekke publiserte resultater. Det er derfor konkludert med at det er stor sannsynlighet for at FEMP regner riktig for egenverdier (resonansfrekvenser og antiresonansfrekvenser) for piezokeramiske skiver, til tross for avvikene mellom resultater fra FEMP og resultater fra doktoravhandlingen til Guo [10]. Dersom egenverdiene er korrekt utregnet, vil feilen på egenvektorene kun avhenge av egenverdirutinen. Det blir benyttet anerkjente og mye brukte egenverdirutiner som sikrer at egenvektorene med meget stor sannsynlighet vil bli regnet med feil i samme størrelsesorden som for egenverdiene. Når det gjelder andre funksjoner konkluderes det med at testresultatene indikerer at FEMP regner riktig for resonansfrekvenser for strukturer sammensatt av flere materialer og elektriske responsfunksjoner, selv om test-grunnlaget er alt for lite til å trekke klare konklusjoner. For andre funksjoner er FEMP for dårlig testet til at det er hensiktsmessig å benytte programmet i en analyse.

I litteraturen har det vært vanskelig å finne klare krav for hvilken elementoppdeling som bør benyttes for å få en løsning med god nøyaktighet. Det er derfor i kapittel  foretatt konvergenstester for å finne ut hvilke krav det er nødvendig å sette til elementoppdelingen for at løsning skal oppfylle ønskede krav til nøyaktighet. Det ble funnet et foreløpig krav til elementoppdeling for det 8-noders isoparametriske elementet, som må verifiseres (eller eventuelt korrigeres) ved et senere arbeid, fordi det ikke er regnet med tilstrekkelig god elementoppdeling i den retningen som holdes fast ved konvergenstestene. Kravet som ble funnet er at det anbefales å benytte 5-6 elementer pr. bølgelengde i radiell retning, og 3-4 elementer pr. bølgelengde i tykkelsesretningen (skjær-bølgelengde) for å få en løsning med en nøyaktighet på rundt 0.5%. Dette kravet kan muligens senkes når videre analyse blir utført, slik at det fremdeles gjenstår en del arbeid på dette området.

I kapittel  er det gitt en del eksempler på hvordan FEMP kan benyttes til analyse av piezokeramiske skiver. Siden det fortsatt gjenstår en del arbeid innenfor testing av forskjellige funksjoner i FEMP før disse kan benyttes til grundige analyser av egenskapene til piezokeramiske skiver og andre piezoelektriske strukturer, må resultatene i kapittel  sees på som foreløpige resultater, som kan bli bekreftet eller korrigert på et senere tidspunkt, og som bare er med på å få frem mulighetene man har ved bruk av endelig element metoden til analyse av piezoelektriske skiver. Dette kapittelet er altså ikke et hovedkapittel. I kapittelet blir ulike uttrykk for koblingsfaktoren benyttet i endelig element litteraturen sammenlignet, det blir vist hvordan vibrasjonsmodene omkring tykkelsesmoden for piezoelektriske skiver kan analyseres ved hjelp av endelig element metoden, det blir gitt eksempler på hvordan en transient-analyse kan utføres ved hjelp av programmet FEMP, og det blir sannsynliggjort at plotting av den modale konstanten som funksjon av D/T kan være nyttig i en analyse. Konklusjonene som blir trukket i kapittel  er ikke viktige her.

FEMP, et omfattende program for endelig element analyse av piezoelektriske strukturer, er altså implementert i denne oppgaven. Kun et fåtall av funksjonene er fullstendig gjennomtestet, men den utviklede programkoden vil være en svært nyttig basis i videreutvikling og ytterligere testing av programmet. Gjennom relativt omfattende testing er det sannsynliggjort at FEMP regner ut verdier på resonans- og antiresonansfrekvenser på en riktig måte. Konvergenstester, som det sannsynligvis må jobbes litt mer med, kan hjelpe brukeren til å finne et brukbart mål på nøyaktigheten til løsningen. Det er demonstrert at FEMP kan bli et kraftig verktøy innenfor endelig element analyse av piezokeramiske skiver når man får testet det grundig nok.